Caractérisation par un développement limité d'ordre 1 : énoncé (MPSI)
Caractérisation par un développement limité d'ordre 1
$f$ est dérivable en $a$ si et seulement s'il existe $\ell \in \mathbb{K}$ et une fonction $\varepsilon$ de limite nulle en $0$ tels que, pour tout $h$ avec $a+h \in I$ : $$f(a+h)=f(a)+\ell h+h\,\varepsilon(h).$$ On écrit $f(a+h)=f(a)+\ell h+o(h)$. Dans ce cas $\ell=f'(a)$.
Démonstration : Caractérisation par un développement limité d'ordre 1
Preuve
Si $f$ est dérivable en $a$, on pose $\varepsilon(h)=\frac{f(a+h)-f(a)}{h}-f'(a)$ pour $h \neq 0$ et $\varepsilon(0)=0$. Alors $\varepsilon(h) \to 0$ et l'égalité est vraie avec $\ell=f'(a)$ (y compris pour $h=0$).
Réciproquement, si l'égalité est vraie, pour $h \neq 0$ on a $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\ell+\varepsilon(h) \xrightarrow[h \to 0]{} \ell$. Donc $f$ est dérivable en $a$ et $f'(a)=\ell$.
S’entraîner
- Encadrement de l'arctangente
- Une fonction de classe $\mathcal{C}^1$ qui n'est pas deux fois dérivable
- Deux limites par les accroissements finis
Dans le cours
Dérivabilité : Caractérisation par un développement limité d'ordre 1