Prépa, 1re année › Dérivabilité › Dérivable implique continue
Dérivable implique continue : énoncé (MPSI)
Propriété
Dérivable implique continue
Si $f$ est dérivable en $a$, alors $f$ est continue en $a$.
Démonstration : Dérivable implique continue
Démonstration
Preuve
Pour $x \neq a$, $f(x)-f(a)=(x-a)\,\tau_a(x)$. Quand $x \to a$, $x-a \to 0$ et $\tau_a(x) \to f'(a)$ qui est fini. Le produit tend vers $0 \times f'(a)=0$, donc $f(x) \to f(a)$.
Attention
La réciproque est fausse
La fonction $x \mapsto |x|$ est continue en $0$ mais pas dérivable en $0$ : son taux d'accroissement vaut $1$ à droite et $-1$ à gauche. En contraposée, la propriété sert souvent : une fonction discontinue en $a$ n'est pas dérivable en $a$.
S’entraîner
- Raccord dérivable entre une droite et une racine carrée
- Réciproque de $x \mapsto x+e^x$
- Une réciproque sans formule : la fonction $W$
- Une fonction de classe $\mathcal{C}^1$ qui n'est pas deux fois dérivable
- Théorème de Darboux : une dérivée vérifie les valeurs intermédiaires