Fonction dérivée : définition (MPSI)
Fonction dérivée
$f$ est dérivable sur $I$ si elle est dérivable en tout point de $I$. La fonction $f' : x \mapsto f'(x)$ est alors la fonction dérivée de $f$, aussi notée $\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}$. L'ensemble des fonctions dérivables sur $I$ à valeurs dans $\mathbb{K}$ est noté $\mathcal{D}(I,\mathbb{K})$.
Fonctions à valeurs complexes
Pour $f : I \to \mathbb{C}$, le taux d'accroissement de $f$ a pour parties réelle et imaginaire ceux de $\mathrm{Re}\,f$ et $\mathrm{Im}\,f$. Donc $f$ est dérivable en $a$ si et seulement si $\mathrm{Re}\,f$ et $\mathrm{Im}\,f$ le sont, et $$f'(a)=(\mathrm{Re}\,f)'(a)+i\,(\mathrm{Im}\,f)'(a).$$ Exemple utile : si $\varphi : I \to \mathbb{C}$ est dérivable, $e^{\varphi}$ est dérivable et $(e^{\varphi})'=\varphi'\,e^{\varphi}$. En particulier $(e^{i\omega t})'=i\omega\,e^{i\omega t}$.
S’entraîner
- Raccord dérivable entre une droite et une racine carrée
- Réciproque de $x \mapsto x+e^x$
- Racines de la dérivée d'un polynôme à racines connues
- Dérivée $n$-ième d'un produit polynôme-exponentielle
- Logarithme : tangente et corde