Opérations sur les fonctions de classe $\mathcal{C}^n$ : énoncé (MPSI)
Opérations sur les fonctions de classe $\mathcal{C}^n$
Soit $n \in \mathbb{N}\cup\{\infty\}$.
- Une combinaison linéaire et un produit de fonctions $\mathcal{C}^n$ sont $\mathcal{C}^n$.
- Si $f,g$ sont $\mathcal{C}^n$ et $g$ ne s'annule pas, $\frac{f}{g}$ est $\mathcal{C}^n$.
- Si $f : I \to \mathbb{R}$ et $g : J \to \mathbb{K}$ sont $\mathcal{C}^n$ avec $f(I) \subset J$, alors $g \circ f$ est $\mathcal{C}^n$.
- Si $f : I \to \mathbb{R}$ est $\mathcal{C}^n$ ($n \ge 1$), bijective de $I$ sur $J$, et si $f'$ ne s'annule pas, alors $f^{-1}$ est $\mathcal{C}^n$ sur $J$.
En particulier les fonctions usuelles (polynômes, fractions rationnelles, exp, ln, puissances, fonctions trigonométriques et hyperboliques, arctan) sont $\mathcal{C}^\infty$ sur leur domaine de dérivabilité.
Démonstration : Opérations sur les fonctions de classe $\mathcal{C}^n$
Preuve pour la composée
On montre par récurrence sur $n \ge 1$ la propriété : « pour toutes $f,g$ de classe $\mathcal{C}^n$ composables, $g \circ f$ est $\mathcal{C}^n$ ». Pour $n=1$ : $(g \circ f)'=f' \times (g' \circ f)$ est un produit de fonctions continues. Supposons la propriété vraie au rang $n$ et soient $f,g$ de classe $\mathcal{C}^{n+1}$. Alors $f$ et $g'$ sont $\mathcal{C}^n$, donc $g' \circ f$ est $\mathcal{C}^n$ par hypothèse de récurrence ; $f'$ est $\mathcal{C}^n$ ; leur produit $(g \circ f)'$ est $\mathcal{C}^n$ par Leibniz. Donc $g \circ f$ est $\mathcal{C}^{n+1}$. Pour la réciproque, on raisonne de même sur $(f^{-1})'=\frac{1}{f' \circ f^{-1}}$.
S’entraîner
- Dérivée $n$-ième d'un produit polynôme-exponentielle
- Une fonction de classe $\mathcal{C}^1$ qui n'est pas deux fois dérivable
- Dérivées successives de l'arctangente en $0$
- Examen : une fonction plateau de classe $\mathcal{C}^\infty$ (esprit Mines-Ponts)
Dans le cours
Dérivabilité : Opérations sur les fonctions de classe $\mathcal{C}^n$