Prépa, 1re année › Dérivabilité › Calculer une dérivée $n$-ième
Calculer une dérivée $n$-ième : méthode (MPSI)
Méthode
Calculer une dérivée $n$-ième
- Décomposer la fonction en termes dont on connaît les dérivées successives : fraction rationnelle en éléments simples, produit de fonctions trigonométriques linéarisé, écriture $\cos(\omega x)=\mathrm{Re}(e^{i\omega x})$.
- Si la fonction est un produit dont un facteur est un polynôme de degré $p$, appliquer Leibniz : il reste au plus $p+1$ termes.
- Calculer les premières dérivées, conjecturer, puis démontrer par récurrence si aucune des deux méthodes ne s'applique.
- Vérifier le résultat pour $n=0$ et $n=1$.
Exemple
Dérivée $n$-ième d'une fraction rationnelle
Sur $\mathbb{R}\setminus\{-1,1\}$ : $\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}=\frac{2}{x^2-1}$, donc $\frac{1}{x^2-1}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}\right)$. Par linéarité et la formule usuelle : $$\left(\frac{1}{x^2-1}\right)^{(n)}=\frac{(-1)^n\,n!}{2}\left(\frac{1}{(x-1)^{n+1}}-\frac{1}{(x+1)^{n+1}}\right).$$ Pour $n=0$ on retrouve bien la fonction de départ.
S’entraîner
- Raccord dérivable entre une droite et une racine carrée
- Réciproque de $x \mapsto x+e^x$
- Racines de la dérivée d'un polynôme à racines connues
- Dérivée $n$-ième d'un produit polynôme-exponentielle
- Logarithme : tangente et corde