Exercice corrigé : Examen : une fonction plateau de classe $\mathcal{C}^\infty$ (esprit Mines-Ponts)

Soit $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ définie par $f(x)=e^{-1/x}$ si $x>0$ et $f(x)=0$ si $x \le 0$.

1. Montrer qu'il existe une suite de polynômes $(P_n)_{n \in \mathbb{N}}$ telle que $P_0=1$, $P_{n+1}(t)=t^2\big(P_n(t)-P_n'(t)\big)$ et, pour tout $n$ et tout $x>0$ : $f^{(n)}(x)=P_n\left(\frac1x\right)e^{-1/x}$.
2. Calculer $P_1$ et $P_2$. Montrer que $P_n$ est de degré $2n$ et de coefficient dominant $1$.
3. Montrer que pour tout polynôme $P$ : $P\left(\frac1x\right)e^{-1/x} \xrightarrow[x \to 0^+]{} 0$.
4. Montrer par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $f$ est de classe $\mathcal{C}^n$ sur $\mathbb{R}$ et $f^{(n)}(0)=0$. Conclure.
5. Soit $g(x)=f(x)f(1-x)$. Montrer que $g$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $\mathbb{R}$, nulle en dehors de $]0,1[$, strictement positive sur $]0,1[$, et déterminer son maximum.
6. À l'aide de la formule de Leibniz, montrer que $g^{(n)}(0)=g^{(n)}(1)=0$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.