Formule de Leibniz : énoncé (MPSI)
Formule de Leibniz
Si $f,g : I \to \mathbb{K}$ sont $n$ fois dérivables sur $I$, alors $fg$ est $n$ fois dérivable et $$(fg)^{(n)}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}f^{(k)}\,g^{(n-k)}.$$ Si $f$ et $g$ sont de classe $\mathcal{C}^n$, $fg$ l'est aussi.
Démonstration : Formule de Leibniz
Preuve par récurrence
Pour $n=0$, la formule s'écrit $fg=fg$. Supposons-la vraie au rang $n$ pour tout couple de fonctions $n$ fois dérivables, et soient $f,g$ $(n+1)$ fois dérivables. Par hypothèse, $(fg)^{(n)}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}f^{(k)}g^{(n-k)}$. Chaque terme est dérivable car $k+1 \le n+1$ et $n-k+1 \le n+1$. En dérivant : $$(fg)^{(n+1)}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}f^{(k+1)}g^{(n-k)}+\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}f^{(k)}g^{(n+1-k)}.$$ Dans la première somme on pose $j=k+1$ : elle vaut $\sum_{j=1}^{n+1}\binom{n}{j-1}f^{(j)}g^{(n+1-j)}$. En isolant $j=n+1$ dans la première et $j=0$ dans la seconde : $$(fg)^{(n+1)}=f^{(n+1)}g+\sum_{j=1}^{n}\left[\binom{n}{j-1}+\binom{n}{j}\right]f^{(j)}g^{(n+1-j)}+fg^{(n+1)}.$$ La formule de Pascal $\binom{n}{j-1}+\binom{n}{j}=\binom{n+1}{j}$ et $\binom{n+1}{0}=\binom{n+1}{n+1}=1$ donnent la formule au rang $n+1$. Pour la classe $\mathcal{C}^n$ : chaque terme $f^{(k)}g^{(n-k)}$ est continu.
Dérivée $n$-ième de $x^2e^x$
On applique Leibniz avec $f(x)=x^2$ et $g=\exp$ : $f'(x)=2x$, $f''=2$ et $f^{(k)}=0$ pour $k \ge 3$. Seuls les termes $k=0,1,2$ subsistent : $$(x^2e^x)^{(n)}=x^2e^x+\binom{n}{1}2x\,e^x+\binom{n}{2}2\,e^x=e^x\big(x^2+2nx+n(n-1)\big).$$ Vérification pour $n=1$ : $(x^2e^x)'=e^x(x^2+2x)$, correct. La formule reste valable pour $n=0$ et $n=1$ (le coefficient $n(n-1)$ est alors nul).
S’entraîner
- Dérivée $n$-ième d'un produit polynôme-exponentielle
- Une réciproque sans formule : la fonction $W$
- Dérivées successives de l'arctangente en $0$
- Examen : racines des polynômes de Legendre (esprit CCINP)
- Examen : une fonction plateau de classe $\mathcal{C}^\infty$ (esprit Mines-Ponts)