Prépa, 1re année › Dérivabilité › Dérivées successives, classes $\mathcal{D}^n$ et $\mathcal{C}^n$

Dérivées successives, classes $\mathcal{D}^n$ et $\mathcal{C}^n$ : définition (MPSI)

Définition

Dérivées successives, classes $\mathcal{D}^n$ et $\mathcal{C}^n$

On définit par récurrence $f^{(0)}=f$ et, si $f^{(n)}$ existe et est dérivable sur $I$, $f^{(n+1)}=\big(f^{(n)}\big)'$.

$f$ est $n$ fois dérivable sur $I$ si $f^{(n)}$ existe sur $I$ ; ensemble $\mathcal{D}^n(I,\mathbb{K})$.
$f$ est de classe $\mathcal{C}^n$ sur $I$ si $f$ est $n$ fois dérivable et $f^{(n)}$ est continue sur $I$ ; ensemble $\mathcal{C}^n(I,\mathbb{K})$. $\mathcal{C}^0$ est l'ensemble des fonctions continues.
$f$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$ si elle est de classe $\mathcal{C}^n$ pour tout $n$, c'est-à-dire indéfiniment dérivable.

Remarque

Inclusions strictes

On a $\mathcal{C}^{n+1} \subset \mathcal{D}^{n+1} \subset \mathcal{C}^n \subset \mathcal{D}^n$, et ces inclusions sont strictes.

$x \mapsto x^2\sin\frac{1}{x}$ (prolongée par $0$) est dérivable sur $\mathbb{R}$ mais pas $\mathcal{C}^1$ : elle est dans $\mathcal{D}^1 \setminus \mathcal{C}^1$.
$f(x)=x|x|$ est $\mathcal{C}^1$ avec $f'(x)=2|x|$ (vérifier en $0$ : $\tau_0(x)=|x| \to 0$), mais $f'$ n'est pas dérivable en $0$ : $f \in \mathcal{C}^1 \setminus \mathcal{D}^2$.

Exemple

Dérivées $n$-ièmes usuelles

Pour tout $n \in \mathbb{N}$ :

$\exp^{(n)}=\exp$ ; plus généralement $(e^{\lambda x})^{(n)}=\lambda^n e^{\lambda x}$ pour $\lambda \in \mathbb{C}$.
$\sin^{(n)}(x)=\sin\left(x+n\frac{\pi}{2}\right)$ et $\cos^{(n)}(x)=\cos\left(x+n\frac{\pi}{2}\right)$ (récurrence avec $\sin'(x)=\cos x=\sin(x+\frac{\pi}{2})$).
Pour $p \in \mathbb{N}$ : $(x^p)^{(k)}=\frac{p!}{(p-k)!}x^{p-k}$ si $k \le p$, et $0$ si $k>p$.
Pour $a \in \mathbb{R}$, sur $\mathbb{R}\setminus\{a\}$ : $\left(\frac{1}{x-a}\right)^{(n)}=\frac{(-1)^n\,n!}{(x-a)^{n+1}}$.

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