Soient $a,b \in \mathbb{R}$. On définit $f$ sur $[0,+\infty[$ par $$f(x)=\begin{cases} ax+b & \text{si } 0 \le x<1,\\ \sqrt{x} & \text{si } x \ge 1.\end{cases}$$
- Montrer que si $f$ est dérivable en $1$, alors $a+b=1$.
- On suppose $a+b=1$. Calculer la dérivée à gauche et la dérivée à droite de $f$ en $1$.
- En déduire l'unique couple $(a,b)$ pour lequel $f$ est dérivable en $1$, et donner $f'(1)$.
Une fonction dérivable en un point y est continue : comparer la limite à gauche de $f$ en $1$ avec $f(1)$.
À droite, factoriser $x-1=(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)$.
À gauche, remplacer $b$ par $1-a$ dans le taux d'accroissement : il se simplifie complètement.
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Si $f$ est dérivable en $1$, elle est continue en $1$. Or $f(1)=\sqrt{1}=1$ et, pour $0 \le x<1$, $f(x)=ax+b \xrightarrow[x \to 1^-]{} a+b$. La continuité en $1$ impose $a+b=1$.
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On suppose $a+b=1$, c'est-à-dire $b=1-a$.
- Pour $x>1$ : $\tau_1(x)=\frac{\sqrt{x}-1}{x-1}=\frac{\sqrt{x}-1}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}=\frac{1}{\sqrt{x}+1} \xrightarrow[x \to 1^+]{} \frac{1}{2}$. Donc $f'_d(1)=\frac12$.
- Pour $0 \le x<1$ : $\tau_1(x)=\frac{ax+(1-a)-1}{x-1}=\frac{a(x-1)}{x-1}=a$. Donc $f'_g(1)=a$.
- Si $a+b \neq 1$, $f$ n'est pas continue en $1$, donc pas dérivable en $1$. Si $a+b=1$, comme $1$ est intérieur à $[0,+\infty[$, $f$ est dérivable en $1$ si et seulement si $f'_g(1)=f'_d(1)$, soit $a=\frac12$, et alors $b=1-a=\frac12$.
Conclusion : $f$ est dérivable en $1$ si et seulement si $a=b=\frac12$, et dans ce cas $f'(1)=\frac12$. La droite $y=\frac{x+1}{2}$ est la tangente en $1$ au graphe de la racine carrée : le raccord se fait le long de cette tangente.
$a=b=\frac12$, $f'(1)=\frac12$