Liens entre les trois déterminants : énoncé (MPSI)

Soit $\mathcal B$ une base de $E$.

• Pour $x_1,\dots,x_n\in E$ : $\det_{\mathcal B}(x_1,\dots,x_n)=\det\mathrm{Mat}_{\mathcal B}(x_1,\dots,x_n)$.
• Pour $u\in\mathcal L(E)$ : $\det(u)=\det\mathrm{Mat}_{\mathcal B}(u)$.

Démonstration. Les deux membres de la première égalité sont donnés par la même formule en fonction des coordonnées $a_{ij}$. Pour la seconde, la $j$-ième colonne de $\mathrm{Mat}_{\mathcal B}(u)$ contient les coordonnées de $u(e_j)$, et $\det(u)=\det_{\mathcal B}(u(e_1),\dots,u(e_n))$.