Prépa, 1re année › Déterminants › Matrice triangulaire
Matrice triangulaire : énoncé (MPSI)
Propriété
Matrice triangulaire
Le déterminant d'une matrice triangulaire (supérieure ou inférieure) est le produit de ses coefficients diagonaux : $$\det A=a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}.$$
Démonstration : Matrice triangulaire
Démonstration
Démonstration
Supposons $A$ triangulaire supérieure : $a_{ij}=0$ si $i>j$. Le terme associé à $\sigma$ dans la formule est non nul seulement si $\sigma(j)\leqslant j$ pour tout $j$. Alors $\sigma(1)=1$ ; puis $\sigma(2)\leqslant2$ et $\sigma(2)\neq\sigma(1)=1$, donc $\sigma(2)=2$ ; et par récurrence $\sigma(j)=j$ pour tout $j$. Seule l'identité contribue, d'où $\det A=\prod_ja_{jj}$. Le cas triangulaire inférieur s'en déduit par transposition.
S’entraîner
- Déterminant tridiagonal et récurrence linéaire d'ordre 2
- Déterminant de la multiplication à gauche
- Le déterminant de la matrice des distances
- Formes alternées et trace
- Perturbation par la matrice Attila