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Calculer un déterminant par la méthode du pivot : méthode (MPSI)

Méthode

Calculer un déterminant par la méthode du pivot

On choisit un pivot non nul dans la première colonne ; si nécessaire on échange deux lignes (facteur $-1$).
Par des opérations $L_i\leftarrow L_i+\lambda L_1$, on annule les autres coefficients de la première colonne (déterminant inchangé).
On recommence sur la sous-matrice restante jusqu'à obtenir une matrice triangulaire.
Le déterminant est le produit des coefficients diagonaux, corrigé par les signes des échanges et par les facteurs éventuellement sortis.

Cette méthode demande de l'ordre de $n^3$ opérations, contre $n!$ termes pour la formule générale.

Exemple

Un déterminant 3 x 3 par pivot

Soit $A=\begin{pmatrix}2&1&3\\1&0&1\\4&2&1\end{pmatrix}$.

$L_1\leftrightarrow L_2$ (facteur $-1$) : $\begin{pmatrix}1&0&1\\2&1&3\\4&2&1\end{pmatrix}$. Puis $L_2\leftarrow L_2-2L_1$ et $L_3\leftarrow L_3-4L_1$ : $\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&1\\0&2&-3\end{pmatrix}$. Puis $L_3\leftarrow L_3-2L_2$ : $\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&1\\0&0&-5\end{pmatrix}$.

Donc $\det A=-(1\times1\times(-5))=5$. Sarrus donne bien $0+4+6-(0+4+1)=5$.

Exemple

Matrice à diagonale constante

Soit $J_n(a,b)\in\mathcal M_n(\mathbb K)$ dont les coefficients diagonaux valent $a$ et les autres $b$.

$C_1\leftarrow C_1+C_2+\cdots+C_n$ : tous les coefficients de la première colonne valent $a+(n-1)b$. On factorise : $\det J_n(a,b)=(a+(n-1)b)\,\Delta$, où $\Delta$ est le déterminant de la matrice dont la première colonne ne contient que des $1$.
$L_i\leftarrow L_i-L_1$ pour $i\geqslant2$ : la ligne $i$ devient nulle sauf le coefficient diagonal, égal à $a-b$. La matrice est triangulaire supérieure de diagonale $1,a-b,\dots,a-b$.

$$\det J_n(a,b)=(a+(n-1)b)(a-b)^{n-1}.$$ Contrôle pour $n=2$ : $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$.

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