Déterminant d'une matrice : définition (MPSI)

Soit $A=(a_{ij})\in\mathcal M_n(\mathbb K)$, de colonnes $C_1,\dots,C_n\in\mathbb K^n$. Le déterminant de $A$ est le déterminant de ses colonnes dans la base canonique $\mathcal B_c$ de $\mathbb K^n$ : $$\det A=\det\nolimits_{\mathcal B_c}(C_1,\dots,C_n)=\sum_{\sigma\in\mathcal S_n}\varepsilon(\sigma)\prod_{j=1}^na_{\sigma(j)j}.$$ C'est aussi le déterminant de l'endomorphisme de $\mathbb K^n$ canoniquement associé à $A$, puisque celui-ci envoie $e_j$ sur $C_j$. Pour $n=2$ : $\det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=ad-bc$.