Déterminant de la transposée : énoncé (MPSI)

Le coefficient $(i,j)$ de $A^T$ est $a_{ji}$, donc $$\det(A^T)=\sum_{\sigma\in\mathcal S_n}\varepsilon(\sigma)\prod_{j=1}^na_{j\sigma(j)}.$$ Dans le produit, on réindexe par $i=\sigma(j)$, c'est-à-dire $j=\sigma^{-1}(i)$ : $\prod_ja_{j\sigma(j)}=\prod_ia_{\sigma^{-1}(i)i}$. Comme $\varepsilon(\sigma)=\varepsilon(\sigma^{-1})$ et que $\sigma\mapsto\sigma^{-1}$ est une bijection de $\mathcal S_n$, $$\det(A^T)=\sum_{\rho\in\mathcal S_n}\varepsilon(\rho)\prod_{i=1}^na_{\rho(i)i}=\det A.$$