Effet des opérations élémentaires : énoncé (MPSI)
Effet des opérations élémentaires
Sur les colonnes (et de même sur les lignes) :
- échanger deux colonnes $C_i\leftrightarrow C_j$ multiplie le déterminant par $-1$ ;
- $C_i\leftarrow C_i+\lambda C_j$ avec $j\neq i$ ne change pas le déterminant ;
- $C_i\leftarrow\lambda C_i$ multiplie le déterminant par $\lambda$.
Plus généralement, ajouter à une colonne une combinaison linéaire des autres colonnes ne change pas le déterminant.
Démonstration. Le premier point est l'antisymétrie. Pour le deuxième, par linéarité en la $i$-ième colonne, le nouveau déterminant vaut $\det(\dots,C_i,\dots)+\lambda\det(\dots,C_j,\dots,C_j,\dots)$ et le second terme est nul (deux colonnes égales). Le troisième est la linéarité en la $i$-ième colonne.
Opérations successives, pas simultanées
Les opérations doivent être effectuées l'une après l'autre. Faire en même temps $C_1\leftarrow C_1-C_2$ et $C_2\leftarrow C_2-C_1$ produit deux colonnes opposées, donc un déterminant nul, quel que soit le déterminant de départ. De même, $C_i\leftarrow\lambda C_i+\mu C_j$ multiplie le déterminant par $\lambda$.
S’entraîner
- Un déterminant 4 x 4 par la méthode du pivot
- Matrices min et max
- Déterminant de la multiplication à gauche
- Vandermonde et une variante
- Le déterminant de la matrice des distances