Dans $\mathbb{R}^3$, on pose $u_1 = (1,1,1)$, $u_2 = (1,2,3)$ et $u_3 = (1,0,2)$.
- Montrer que $\mathcal{B} = (u_1, u_2, u_3)$ est une base de $\mathbb{R}^3$.
- Déterminer les coordonnées de $w = (2,1,0)$ dans la base $\mathcal{B}$.
La famille a autant de vecteurs que la dimension de $\mathbb{R}^3$ : une seule des deux propriétés (libre ou génératrice) est à vérifier.
Pour la liberté, écrire $a u_1 + b u_2 + c u_3 = 0$, identifier les coordonnées et utiliser la deuxième équation pour exprimer $a$ en fonction de $b$.
Pour les coordonnées, résoudre le même système avec le second membre $(2,1,0)$.
1. Soit $a, b, c \in \mathbb{R}$ tels que $a u_1 + b u_2 + c u_3 = 0$. En identifiant les coordonnées : $$\begin{cases} a + b + c = 0 \\ a + 2b = 0 \\ a + 3b + 2c = 0 \end{cases}$$ La deuxième équation donne $a = -2b$. La première devient $-b + c = 0$, soit $c = b$. La troisième devient $-2b + 3b + 2b = 3b = 0$, donc $b = 0$, puis $a = 0$ et $c = 0$.
La famille $\mathcal{B}$ est libre. Elle compte $3$ vecteurs et $\dim \mathbb{R}^3 = 3$ : c'est une base de $\mathbb{R}^3$ (caractérisation des bases par le cardinal).
2. On cherche $(a,b,c)$ tel que $a u_1 + b u_2 + c u_3 = w$ : $$\begin{cases} a + b + c = 2 \\ a + 2b = 1 \\ a + 3b + 2c = 0 \end{cases}$$ La deuxième équation donne $a = 1 - 2b$. La première devient $1 - b + c = 2$, soit $c = 1 + b$. La troisième devient $(1 - 2b) + 3b + 2(1 + b) = 3 + 3b = 0$, donc $b = -1$, puis $a = 3$ et $c = 0$.
Vérification : $3u_1 - u_2 = (3 - 1, \, 3 - 2, \, 3 - 3) = (2, 1, 0) = w$.
Les coordonnées de $w$ dans $\mathcal{B}$ sont $(3, -1, 0)$.
$\mathcal{B}$ est une base ; coordonnées de $w$ : $(3,-1,0)$