Dans $E = \mathbb{R}_3[X]$, on pose $F = \{P \in E : P(1) = P(-1) = 0\}$ et $G = \mathbb{R}_1[X]$.
- Montrer que $F = \{(X^2 - 1)Q : Q \in \mathbb{R}_1[X]\}$ et en donner une base.
- Montrer que $E = F \oplus G$.
- Décomposer $X^3$, puis $P = a + bX + cX^2 + dX^3$, selon cette somme directe.
Un polynôme qui s'annule en $1$ et en $-1$ est divisible par $(X - 1)(X + 1)$.
Pour l'intersection, un polynôme de degré au plus $1$ ayant deux racines distinctes est nul.
Chercher $P = (X^2 - 1)(\alpha + \beta X) + \gamma + \delta X$ en identifiant les coefficients.
1. Si $P \in F$, les réels $1$ et $-1$ sont deux racines distinctes de $P$, donc $(X - 1)(X + 1) = X^2 - 1$ divise $P$ : $P = (X^2 - 1)Q$ avec $\deg Q \leq 3 - 2 = 1$ (ou $Q = 0$). Réciproquement, tout $(X^2 - 1)Q$ avec $Q \in \mathbb{R}_1[X]$ est de degré au plus $3$ et s'annule en $1$ et $-1$. D'où l'égalité, et $$F = \operatorname{Vect}\big(X^2 - 1, \; X(X^2 - 1)\big).$$ Ces deux polynômes sont non nuls de degrés distincts $2$ et $3$ : ils forment une famille libre, donc une base de $F$, et $\dim F = 2$.
2. On a $\dim F + \dim G = 2 + 2 = 4 = \dim \mathbb{R}_3[X]$. Soit $P \in F \cap G$ : $P$ est de degré au plus $1$ et possède les deux racines distinctes $1$ et $-1$, donc $P = 0$. Ainsi $F \cap G = \{0\}$ et, par la caractérisation des supplémentaires par la dimension, $E = F \oplus G$.
3. On a $X^3 = X(X^2 - 1) + X$, avec $X(X^2 - 1) \in F$ et $X \in G$.
Pour $P = a + bX + cX^2 + dX^3$ : $$(X^2 - 1)(c + dX) = cX^2 + dX^3 - c - dX,$$ donc $$P = \underbrace{(X^2 - 1)(c + dX)}_{\in F} + \underbrace{(a + c) + (b + d)X}_{\in G}.$$ Vérification : $cX^2 + dX^3 - c - dX + a + c + bX + dX = a + bX + cX^2 + dX^3$. Par unicité de la décomposition dans une somme directe, c'est la décomposition cherchée : la composante sur $G$ est le reste de la division euclidienne de $P$ par $X^2 - 1$.
$P = (X^2-1)(c+dX) + \big((a+c) + (b+d)X\big)$