Prépa, 1re année › Ensembles et applications › Exemples fondamentaux

Exemples fondamentaux : définition (MPSI)

Définition

Exemples fondamentaux

L'identité de $E$ : $\mathrm{id}_E : E \to E,\ x \mapsto x$.
La fonction indicatrice d'une partie $A$ de $E$ : $\mathbf{1}_A : E \to \{0, 1\}$, avec $\mathbf{1}_A(x) = 1$ si $x \in A$ et $\mathbf{1}_A(x) = 0$ sinon.
La restriction de $f : E \to F$ à une partie $A$ de $E$ : $f_{|A} : A \to F,\ x \mapsto f(x)$.
Un prolongement de $f : A \to F$ à $E \supset A$ est une application $g : E \to F$ telle que $g_{|A} = f$.
Une famille $(x_i)_{i \in I}$ d'éléments de $E$ est une application de $I$ dans $E$, notée de façon indicielle. Une suite réelle est une famille indexée par $\mathbb{N}$.

Exemple

Calcul avec les indicatrices

Pour $A, B \in \mathcal{P}(E)$ : $$\mathbf{1}_{A \cap B} = \mathbf{1}_A \mathbf{1}_B, \qquad \mathbf{1}_{\overline{A}} = 1 - \mathbf{1}_A, \qquad \mathbf{1}_{A \cup B} = \mathbf{1}_A + \mathbf{1}_B - \mathbf{1}_A \mathbf{1}_B.$$ On vérifie chaque égalité en tout $x \in E$, en distinguant les quatre cas selon que $x$ est ou non dans $A$, dans $B$. Par exemple, si $x \in A$ et $x \in B$ : $\mathbf{1}_{A \cup B}(x) = 1$ et $1 + 1 - 1 \times 1 = 1$. Si $x \in A$ et $x \notin B$ : $1 + 0 - 0 = 1$. Si $x$ n'est ni dans $A$ ni dans $B$ : $0 + 0 - 0 = 0$. Enfin $A = B \iff \mathbf{1}_A = \mathbf{1}_B$, ce qui permet de démontrer des égalités d'ensembles par le calcul.

S’entraîner

Dans le cours

Ensembles et applications : Exemples fondamentaux