Prépa, 1re année › Ensembles et applications › Associativité, élément neutre
Associativité, élément neutre : énoncé (MPSI)
Propriété
Associativité, élément neutre
Pour $f : E \to F$, $g : F \to G$, $h : G \to H$ : $$h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f, \qquad f \circ \mathrm{id}_E = f = \mathrm{id}_F \circ f.$$ En effet, pour tout $x \in E$, les deux membres de la première égalité valent $h(g(f(x)))$.
Attention
La composition n'est pas commutative
Avec $f, g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x + 1$ et $g(x) = x^2$ : $$(g \circ f)(x) = (x+1)^2, \qquad (f \circ g)(x) = x^2 + 1.$$ En $x = 1$, on obtient $4$ et $2$ : $g \circ f \neq f \circ g$.
S’entraîner
- Une relation d'équivalence sur $\mathbb{R}$
- L'ordre produit sur $\mathbb{R}^2$
- Applications idempotentes et applications vérifiant $f \circ f \circ f = f$ (type Mines-Ponts)