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Calculer une image directe ou réciproque : méthode (MPSI)

Méthode

Calculer une image directe ou réciproque

Pour $f^{-1}(B)$ : on résout la condition $f(x) \in B$ d'inconnue $x \in E$. C'est une équation ou une inéquation.
Pour $f(A)$ : on cherche les $y \in F$ pour lesquels l'équation $f(x) = y$ admet au moins une solution $x \in A$. Pour une fonction réelle continue sur un intervalle, on peut aussi s'appuyer sur le tableau de variations et le théorème des valeurs intermédiaires.
Pour vérifier $y \in f(A)$, il faut exhiber un antécédent dans $A$ ; pour vérifier $x \in f^{-1}(B)$, il suffit de calculer $f(x)$.

Exemple

Avec la fonction carré

Soit $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R},\ x \mapsto x^2$.

$f([-1, 2]) = [0, 4]$ : sur $[-1, 0]$, $f$ décroît de $1$ à $0$ ; sur $[0, 2]$, elle croît de $0$ à $4$. Tout $y \in [0, 4]$ a pour antécédent $\sqrt{y} \in [0, 2]$, et $f(x) \in [0, 4]$ pour $x \in [-1, 2]$.
$f^{-1}([1, 4]) = \{x \mid 1 \leq x^2 \leq 4\} = \{x \mid 1 \leq |x| \leq 2\} = [-2, -1] \cup [1, 2]$.
$f^{-1}([-3, -1]) = \varnothing$, car un carré n'est jamais strictement négatif.
$f^{-1}(f([0, 1])) = f^{-1}([0, 1]) = [-1, 1]$, qui contient strictement $[0, 1]$.

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