Prépa, 1re année › Ensembles et applications › Image directe, image réciproque et opérations

Image directe, image réciproque et opérations : énoncé (MPSI)

Propriété

Image directe, image réciproque et opérations

Soit $f : E \to F$, $A, A' \subset E$ et $B, B' \subset F$. $$\begin{aligned} f(A \cup A') &= f(A) \cup f(A'), & f(A \cap A') &\subset f(A) \cap f(A'), \\ f^{-1}(B \cup B') &= f^{-1}(B) \cup f^{-1}(B'), & f^{-1}(B \cap B') &= f^{-1}(B) \cap f^{-1}(B'), \end{aligned}$$ $$f^{-1}(F \setminus B) = E \setminus f^{-1}(B), \qquad A \subset f^{-1}(f(A)), \qquad f(f^{-1}(B)) \subset B.$$ L'image réciproque est compatible avec toutes les opérations ; l'image directe ne l'est qu'avec la réunion.

Démonstration : Image directe, image réciproque et opérations

Démonstration

Démonstration de quelques points

$f(A \cap A') \subset f(A) \cap f(A')$. Soit $y \in f(A \cap A')$ : il existe $x \in A \cap A'$ tel que $y = f(x)$. Comme $x \in A$, $y \in f(A)$ ; comme $x \in A'$, $y \in f(A')$. Donc $y \in f(A) \cap f(A')$.

$f(A \cup A') = f(A) \cup f(A')$. On a $y \in f(A \cup A') \iff \exists x \in A \cup A',\ y = f(x) \iff (\exists x \in A,\ y = f(x)) \text{ ou } (\exists x \in A',\ y = f(x)) \iff y \in f(A) \cup f(A')$.

$f^{-1}(B \cap B') = f^{-1}(B) \cap f^{-1}(B')$. Pour $x \in E$ : $x \in f^{-1}(B \cap B') \iff f(x) \in B \cap B' \iff (f(x) \in B \text{ et } f(x) \in B') \iff x \in f^{-1}(B) \cap f^{-1}(B')$.

$A \subset f^{-1}(f(A))$. Soit $x \in A$. Alors $f(x) \in f(A)$, ce qui signifie exactement $x \in f^{-1}(f(A))$.

$f(f^{-1}(B)) \subset B$. Soit $y \in f(f^{-1}(B))$ : il existe $x \in f^{-1}(B)$ tel que $y = f(x)$. Or $x \in f^{-1}(B)$ signifie $f(x) \in B$. Donc $y \in B$.

Exemple

L'inclusion $f(A \cap A') \subset f(A) \cap f(A')$ peut être stricte

Avec $f : x \mapsto x^2$ sur $\mathbb{R}$, $A = [-2, -1]$ et $A' = [1, 2]$ : $A \cap A' = \varnothing$, donc $f(A \cap A') = \varnothing$. Mais $f(A) = f(A') = [1, 4]$, donc $f(A) \cap f(A') = [1, 4]$.

Le défaut vient de ce que $f$ n'est pas injective : $-1$ et $1$ ont la même image. On montre que l'égalité a lieu pour toutes parties $A, A'$ si et seulement si $f$ est injective.

S’entraîner

Dans le cours

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