On considère $f : \mathbb{R} \setminus \{1\} \to \mathbb{R} \setminus \{2\}$, $x \mapsto \dfrac{2x + 1}{x - 1}$.
- Vérifier que $f$ est bien définie, c'est-à-dire que $f(x) \neq 2$ pour tout $x \neq 1$.
- Montrer que $f$ est bijective et déterminer $f^{-1}$.
- On note $\tilde f : \mathbb{R} \setminus \{1\} \to \mathbb{R}$ l'application donnée par la même formule. Est-elle injective ? surjective ?
Supposer $f(x) = 2$ et chercher une contradiction.
Pour $y \neq 2$, résoudre $\frac{2x+1}{x-1} = y$ en multipliant par $x - 1 \neq 0$, puis vérifier que la solution trouvée est différente de $1$.
Pour $\tilde f$, seul l'ensemble d'arrivée change.
1. Soit $x \neq 1$. Si l'on avait $\frac{2x+1}{x-1} = 2$, on aurait $2x + 1 = 2x - 2$, soit $1 = -2$, ce qui est absurde. Donc $f(x) \in \mathbb{R} \setminus \{2\}$ et $f$ est bien définie.
2. Soit $y \in \mathbb{R} \setminus \{2\}$ et $x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}$. Comme $x - 1 \neq 0$ : $$f(x) = y \iff 2x + 1 = y(x - 1) \iff x(y - 2) = y + 1 \iff x = \frac{y + 1}{y - 2},$$ la dernière équivalence car $y - 2 \neq 0$. Il reste à vérifier que ce réel est dans l'ensemble de départ : si $\frac{y+1}{y-2} = 1$, alors $y + 1 = y - 2$, absurde. Donc $\frac{y+1}{y-2} \neq 1$. Ainsi, pour tout $y \in \mathbb{R} \setminus \{2\}$, l'équation $f(x) = y$ admet une unique solution dans $\mathbb{R} \setminus \{1\}$ : $f$ est bijective et $$f^{-1} : \mathbb{R} \setminus \{2\} \to \mathbb{R} \setminus \{1\},\quad y \mapsto \frac{y + 1}{y - 2}.$$ Vérification avec $x = 2$ : $f(2) = 5$ et $f^{-1}(5) = \frac{6}{3} = 2$.
3. $\tilde f$ est injective : si $\tilde f(x) = \tilde f(x')$, alors $f(x) = f(x')$, donc $x = x'$ par injectivité de $f$. Elle n'est pas surjective : par la question 1, $2$ n'a pas d'antécédent.
$f$ bijective, $f^{-1}(y) = \dfrac{y+1}{y-2}$ ; $\tilde f$ injective non surjective