Exercice corrigé : Injectivité et image directe

1. Sens direct. Supposons $f$ injective. L'inclusion $f(A \cap A') \subset f(A) \cap f(A')$ est vraie pour toute application (cours). Soit $y \in f(A) \cap f(A')$ : il existe $a \in A$ et $a' \in A'$ tels que $y = f(a) = f(a')$. Par injectivité, $a = a'$, donc $a \in A \cap A'$ et $y = f(a) \in f(A \cap A')$. D'où l'égalité.

Réciproque. Supposons l'égalité vraie pour toutes parties. Soit $x, x' \in E$ tels que $f(x) = f(x')$. Avec $A = \{x\}$ et $A' = \{x'\}$ : $f(A) \cap f(A') = \{f(x)\} \cap \{f(x')\} = \{f(x)\} \neq \varnothing$. Donc $f(\{x\} \cap \{x'\}) \neq \varnothing$, ce qui impose $\{x\} \cap \{x'\} \neq \varnothing$ (l'image de $\varnothing$ est vide), c'est-à-dire $x = x'$. Donc $f$ est injective.

2. Sens direct. Supposons $f$ bijective et soit $A \subset E$. Par la question 1, $f(E \setminus A) \cap f(A) = f((E \setminus A) \cap A) = f(\varnothing) = \varnothing$. Par ailleurs $f(E \setminus A) \cup f(A) = f(E) = F$ par surjectivité. Une partie de $F$ disjointe de $f(A)$ et dont la réunion avec $f(A)$ vaut $F$ est exactement $F \setminus f(A)$ : en effet, si $y \in F \setminus f(A)$, alors $y \in f(E \setminus A)$ puisque $y \in F = f(E \setminus A) \cup f(A)$ ; et si $y \in f(E \setminus A)$, alors $y \notin f(A)$. Donc $f(E \setminus A) = F \setminus f(A)$.

Réciproque. Supposons l'égalité vraie pour toute partie $A$.

• Avec $A = \varnothing$ : $f(E) = F \setminus f(\varnothing) = F$, donc $f$ est surjective.
• Soit $x, x' \in E$ avec $x \neq x'$. Avec $A = \{x\}$ : $f(E \setminus \{x\}) = F \setminus \{f(x)\}$. Comme $x' \in E \setminus \{x\}$, $f(x') \in F \setminus \{f(x)\}$, donc $f(x') \neq f(x)$. Par contraposée, $f$ est injective.

Donc $f$ est bijective.

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