Prépa, 1re année › Ensembles et applications › Montrer une inclusion, une égalité d'ensembles

Montrer une inclusion, une égalité d'ensembles : méthode (MPSI)

Méthode

Montrer une inclusion, une égalité d'ensembles

Pour montrer $A \subset B$ :

On écrit « Soit $x \in A$. »
On traduit $x \in A$ par la propriété qui définit $A$.
On en déduit que $x$ vérifie la propriété qui définit $B$.
On conclut « donc $x \in B$, d'où $A \subset B$. »

Pour montrer $A = B$, on procède en général par double inclusion : on montre $A \subset B$, puis $B \subset A$. Lorsque chaque étape est une équivalence, on peut raisonner directement par équivalences : $x \in A \iff \dots \iff x \in B$.

Exemple

Une double inclusion dans $\mathbb{Z}$

Montrons que $2\mathbb{Z} \cap 3\mathbb{Z} = 6\mathbb{Z}$, où $k\mathbb{Z} = \{kq \mid q \in \mathbb{Z}\}$.

Inclusion $6\mathbb{Z} \subset 2\mathbb{Z} \cap 3\mathbb{Z}$. Soit $n \in 6\mathbb{Z}$ : il existe $q \in \mathbb{Z}$ tel que $n = 6q$. Alors $n = 2(3q)$ avec $3q \in \mathbb{Z}$, donc $n \in 2\mathbb{Z}$, et $n = 3(2q)$, donc $n \in 3\mathbb{Z}$.

Inclusion $2\mathbb{Z} \cap 3\mathbb{Z} \subset 6\mathbb{Z}$. Soit $n \in 2\mathbb{Z} \cap 3\mathbb{Z}$ : il existe $a, b \in \mathbb{Z}$ tels que $n = 2a = 3b$. Alors $b = 3b - 2b = 2a - 2b = 2(a-b)$, donc $b$ est pair : $b = 2c$ avec $c \in \mathbb{Z}$. Ainsi $n = 3b = 6c$, donc $n \in 6\mathbb{Z}$.

Par double inclusion, $2\mathbb{Z} \cap 3\mathbb{Z} = 6\mathbb{Z}$.

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Dans le cours

Ensembles et applications : Montrer une inclusion, une égalité d'ensembles