Prépa, 1re année › Ensembles et applications › Ensemble des parties
Ensemble des parties : définition (MPSI)
Définition
Ensemble des parties
Les parties d'un ensemble $E$ forment un ensemble, noté $\mathcal{P}(E)$ : $$A \in \mathcal{P}(E) \iff A \subset E.$$ Par exemple, si $E = \{a, b\}$, alors $\mathcal{P}(E) = \{\varnothing, \{a\}, \{b\}, \{a, b\}\}$. Pour tout $E$, $\varnothing \in \mathcal{P}(E)$ et $E \in \mathcal{P}(E)$ ; en particulier $\mathcal{P}(\varnothing) = \{\varnothing\}$ n'est pas vide.
Remarque
Cardinal de $\mathcal{P}(E)$
Si $E$ est fini à $n$ éléments, $\mathcal{P}(E)$ possède $2^n$ éléments. Ce résultat est démontré dans le chapitre de dénombrement.
Attention
Ne pas confondre $\in$ et $\subset$
Le symbole $\in$ relie un élément à un ensemble ; le symbole $\subset$ relie deux ensembles. Si $a \in E$ :
- on écrit $a \in E$ et $\{a\} \subset E$ ;
- on écrit $\{a\} \in \mathcal{P}(E)$ ;
- l'écriture $a \subset E$ n'a en général pas de sens, et $\{a\} \in E$ est en général faux.
S’entraîner
- Éléments, parties, ensemble des parties
- Différences et lois de De Morgan
- L'ordre produit sur $\mathbb{R}^2$
- Différence symétrique et indicatrices
- Injectivité et image directe