Raisonner sur une composéeConstruire un contre-exemple
Soit $f : E \to F$ et $g : F \to G$ deux applications.
- On suppose $g \circ f$ injective et $f$ surjective. Montrer que $g$ est injective.
- On suppose $g \circ f$ surjective et $g$ injective. Montrer que $f$ est surjective.
- Montrer à l'aide d'un exemple que $g \circ f$ peut être bijective sans que $g$ soit injective ni que $f$ soit surjective.
Indice 1
Question 1 : partir de $y, y' \in F$ tels que $g(y) = g(y')$ et écrire $y$, $y'$ comme des images par $f$.
Indice 2
Question 2 : pour $y \in F$, chercher un antécédent de $g(y)$ par $g \circ f$.
Indice 3
Question 3 : des ensembles à un ou deux éléments suffisent.
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