Déterminer l'unique solution sur $\mathbb{R}$ de $$y''+y=x+2\cos x$$ vérifiant $y(0)=0$ et $y'(0)=0$.
Découper le second membre en $x$ et $2\cos x$.
Pour $x$, chercher une solution polynomiale de degré 1.
Pour $2\cos x$, le nombre $i$ est racine de l'équation caractéristique : la solution particulière contient un facteur $x$.
Homogène. $r^2+1=0$, racines $\pm i$ : solutions $\lambda\cos x+\mu\sin x$.
Terme $x$. Comme $\chi(0)=1\neq0$, on cherche $y_1=\alpha x+\beta$ : $y_1''+y_1=\alpha x+\beta=x$ donne $y_1(x)=x$.
Terme $2\cos x$. On résout $z''+z=2e^{ix}$. Le nombre $i$ est racine simple de $\chi(r)=r^2+1$, et $\chi'(i)=2i$, donc $$z_2=\frac{2}{2i}\,xe^{ix}=-i\,x(\cos x+i\sin x)=x\sin x-i\,x\cos x.$$ Les coefficients étant réels, $y_2=\mathrm{Re}(z_2)=x\sin x$. Vérification : $y_2'=\sin x+x\cos x$, $y_2''=2\cos x-x\sin x$, donc $y_2''+y_2=2\cos x$.
Solution générale (superposition) : $y(x)=\lambda\cos x+\mu\sin x+x+x\sin x$, et $y'(x)=-\lambda\sin x+\mu\cos x+1+\sin x+x\cos x$.
Conditions initiales. $y(0)=\lambda=0$ et $y'(0)=\mu+1=0$, donc $\mu=-1$.
L'unique solution est $y(x)=x-\sin x+x\sin x$.
Vérification : $y''=\sin x+2\cos x-x\sin x$ et $y''+y=x+2\cos x$.
$y(x)=x-\sin x+x\sin x$