Prépa, 1re année › Équations différentielles linéaires › Problème de Cauchy (premier ordre)

Problème de Cauchy (premier ordre) : énoncé (MPSI)

Théorème

Problème de Cauchy (premier ordre)

Soient $a,b : I\to\mathbb{K}$ continues, $x_0\in I$ et $y_0\in\mathbb{K}$. Il existe une unique solution $y$ de $y'+a(x)y=b(x)$ sur $I$ telle que $y(x_0)=y_0$. Elle est donnée par $$y(x)=e^{-A(x)}\left(y_0+\int_{x_0}^x b(t)e^{A(t)}\,dt\right),\quad\text{où } A(x)=\int_{x_0}^x a(t)\,dt.$$

Démonstration : Problème de Cauchy (premier ordre)

Démonstration

Démonstration

On choisit la primitive $A(x)=\int_{x_0}^x a(t)dt$, qui vérifie $A(x_0)=0$. D'après le théorème précédent, toute solution s'écrit $y(x)=\left(\lambda+\int_{x_0}^x b(t)e^{A(t)}dt\right)e^{-A(x)}$ pour un unique $\lambda\in\mathbb{K}$. En $x=x_0$, l'intégrale est nulle et $e^{-A(x_0)}=1$, donc $y(x_0)=\lambda$. La condition $y(x_0)=y_0$ équivaut à $\lambda=y_0$ : il existe une et une seule solution, de la forme annoncée.

Exemple

Variation de la constante avec coefficient constant

Résolvons $y'+y=\dfrac{1}{1+e^x}$ sur $\mathbb{R}$.

Homogène : $a=1$, $A(x)=x$, solutions $\lambda e^{-x}$.

On cherche $y(x)=\lambda(x)e^{-x}$. L'équation équivaut à $\lambda'(x)e^{-x}=\dfrac{1}{1+e^x}$, soit $\lambda'(x)=\dfrac{e^x}{1+e^x}$. Une primitive est $\lambda(x)=\ln(1+e^x)$.

Solution particulière : $y_p(x)=e^{-x}\ln(1+e^x)$. Solutions : $$y(x)=e^{-x}\big(\ln(1+e^x)+C\big),\quad C\in\mathbb{R}.$$

Exemple

Coefficient variable et condition initiale

Résolvons $y'-\dfrac{y}{x}=x^2$ sur $]0,+\infty[$ avec $y(1)=0$.

Homogène : solutions $\lambda x$ (vu plus haut).

On cherche $y(x)=\lambda(x)x$ : l'équation équivaut à $\lambda'(x)\,x=x^2$, soit $\lambda'(x)=x$, d'où $\lambda(x)=\dfrac{x^2}{2}$. Les solutions sont $$y(x)=\frac{x^3}{2}+Cx,\quad C\in\mathbb{R}.$$ Vérification : $y'-\dfrac yx=\dfrac{3x^2}{2}+C-\dfrac{x^2}{2}-C=x^2$.

Condition initiale : $y(1)=\dfrac12+C=0$, donc $C=-\dfrac12$ et l'unique solution est $y(x)=\dfrac{x^3-x}{2}$.

S’entraîner

Dans le cours

Équations différentielles linéaires : Problème de Cauchy (premier ordre)