Solutions de l'équation complète : énoncé (MPSI)
Solutions de l'équation complète
Soient $a,b : I\to\mathbb{K}$ continues, $A$ une primitive de $a$ et $x_0\in I$. Les solutions de $y'+a(x)y=b(x)$ sur $I$ sont les fonctions $$x\longmapsto \left(\lambda+\int_{x_0}^{x} b(t)e^{A(t)}\,dt\right)e^{-A(x)},\qquad\lambda\in\mathbb{K}.$$ En particulier, $(E)$ admet toujours des solutions sur $I$.
Démonstration : Solutions de l'équation complète
Démonstration
La fonction $t\mapsto b(t)e^{A(t)}$ est continue sur l'intervalle $I$, donc $\Lambda(x)=\displaystyle\int_{x_0}^x b(t)e^{A(t)}dt$ en est une primitive. D'après le calcul de la méthode, $y_p=\Lambda e^{-A}$ vérifie $y_p'+ay_p=\Lambda'e^{-A}=b$ : c'est une solution particulière. Par la propriété de structure, les solutions sont $y_p+\lambda e^{-A}$, $\lambda\in\mathbb{K}$, ce qui est la formule annoncée.
S’entraîner
- Équations homogènes du premier ordre
- Coefficient constant, second membre polynomial ou exponentiel
- Les trois cas de l'équation caractéristique
- Superposition de deux exponentielles
- Variation de la constante
Dans le cours
Équations différentielles linéaires : Solutions de l'équation complète