Coefficient constant et second membre exponentielle-polynôme : méthode (MPSI)
Coefficient constant et second membre exponentielle-polynôme
Pour $y'+ay=P(x)e^{\mu x}$ avec $a\in\mathbb{K}$ constant, $\mu\in\mathbb{K}$ et $P$ polynôme, on évite la variation de la constante : on cherche $y=Q(x)e^{\mu x}$ avec $Q$ polynôme. Le calcul donne $$y'+ay=\big(Q'(x)+(\mu+a)Q(x)\big)e^{\mu x}.$$
- Si $\mu\neq -a$ : on prend $\deg Q=\deg P$ et on identifie les coefficients.
- Si $\mu=-a$ : l'équation devient $Q'=P$, on prend $Q$ primitive de $P$, de degré $\deg P+1$.
Le cas $\mu=0$ correspond à un second membre polynomial.
Trois seconds membres simples
a) $y'+y=x$ sur $\mathbb{R}$, avec $y(0)=0$. On cherche $y_p=\alpha x+\beta$ : $\alpha+\alpha x+\beta=x$ donne $\alpha=1$, $\beta=-1$. Solutions : $y=x-1+\lambda e^{-x}$. La condition $y(0)=-1+\lambda=0$ donne $\lambda=1$ : $y(x)=x-1+e^{-x}$.
b) $y'-2y=e^{2x}$. Ici $\mu=2=-a$ : on cherche $y_p=\alpha xe^{2x}$. Alors $y_p'-2y_p=\alpha e^{2x}$, d'où $\alpha=1$. Solutions : $y=(x+\lambda)e^{2x}$.
c) $y'+y=\cos x$. On résout $z'+z=e^{ix}$ : $z=\dfrac{e^{ix}}{1+i}=\dfrac{1-i}{2}e^{ix}$. Comme les coefficients sont réels, $y_p=\mathrm{Re}(z)=\dfrac{\cos x+\sin x}{2}$. Vérification : $y_p'+y_p=\dfrac{-\sin x+\cos x+\cos x+\sin x}{2}=\cos x$.
S’entraîner
- Coefficient constant, second membre polynomial ou exponentiel
- Les trois cas de l'équation caractéristique
- Superposition de deux exponentielles
- Second membre cosinus et conditions initiales
- Résonance et superposition
Dans le cours
Équations différentielles linéaires : Coefficient constant et second membre exponentielle-polynôme