Prépa, 1re année › Espaces préhilbertiens réels › Caractérisation et expression
Caractérisation et expression : énoncé (MPSI)
Propriété
Caractérisation et expression
Soit $F$ de dimension finie, $x\in E$ et $y\in E$.
- Caractérisation : $y=p_F(x)\iff\begin{cases}y\in F\\ x-y\in F^\perp\end{cases}$
- Expression dans une BON $(e_1,\dots,e_p)$ de $F$ : $$p_F(x)=\sum_{i=1}^p\langle e_i,x\rangle e_i.$$
- Cas d'une droite $D=\operatorname{Vect}(u)$, $u\neq0$ : $p_D(x)=\dfrac{\langle u,x\rangle}{\|u\|^2}u$.
- Si $E$ est euclidien, $p_{F^\perp}=\mathrm{id}_E-p_F$. Pour un hyperplan $H$ de vecteur normal $u$ : $$p_H(x)=x-\frac{\langle u,x\rangle}{\|u\|^2}u.$$
Démonstration : Caractérisation et expression
Démonstration
Preuve
La caractérisation traduit l'unicité de la décomposition dans $E=F\oplus F^\perp$. Dans la preuve du théorème du supplémentaire orthogonal, on a montré que $y=\sum_i\langle e_i,x\rangle e_i$ vérifie $y\in F$ et $x-y\in F^\perp$ : c'est donc $p_F(x)$. Pour une droite, $\left(\frac{u}{\|u\|}\right)$ est une BON de $D$. En dimension finie, $(F^\perp)^\perp=F$, donc la projection sur $F^\perp$ parallèlement à $F$ est $\mathrm{id}-p_F$ ; pour un hyperplan, $H^\perp=\operatorname{Vect}(u)$, d'où la dernière formule.
S’entraîner
- Un produit scalaire non canonique sur $\mathbb{R}^2$
- Une inégalité classique par Cauchy-Schwarz
- Gram-Schmidt dans $\mathbb{R}^3$
Dans le cours
Espaces préhilbertiens réels : Caractérisation et expression