Calculer une projection orthogonale : méthode (MPSI)
Calculer une projection orthogonale
Méthode A (avec une BON de $F$). Obtenir une BON $(e_1,\dots,e_p)$ de $F$, au besoin par Gram-Schmidt, puis appliquer $p_F(x)=\sum\langle e_i,x\rangle e_i$.
Méthode B (avec une base quelconque $(f_1,\dots,f_p)$ de $F$). Chercher $p_F(x)=\sum_j\lambda_jf_j$ et écrire que $x-p_F(x)\perp f_i$ pour tout $i$ : $$\sum_{j=1}^p\lambda_j\langle f_i,f_j\rangle=\langle f_i,x\rangle,\qquad i=1,\dots,p.$$ On résout ce système de $p$ équations à $p$ inconnues ; il a une unique solution.
Méthode C (passer par l'orthogonal). Si $F^\perp$ est de petite dimension (par exemple $F$ hyperplan), calculer $p_{F^\perp}(x)$ puis $p_F(x)=x-p_{F^\perp}(x)$.
Pour la distance : $d(x,F)=\|x-p_F(x)\|$, ou $d(x,F)^2=\|x\|^2-\|p_F(x)\|^2$, ou encore $d(x,F)^2=\langle x-p_F(x),x\rangle$ (car $x-p_F(x)\perp p_F(x)$).
Distance à un plan de $\mathbb{R}^3$
Dans $\mathbb{R}^3$ canonique, soit $H$ le plan d'équation $x+2y-2z=0$ et $a=(1,1,1)$.
Un vecteur normal est $u=(1,2,-2)$, $\|u\|^2=9$, $\langle u,a\rangle=1+2-2=1$. Par la méthode C : $$p_H(a)=a-\frac{1}{9}u=\left(\frac89,\frac79,\frac{11}9\right),\qquad d(a,H)=\frac{|\langle u,a\rangle|}{\|u\|}=\frac13.$$ Contrôle : $\frac89+2\cdot\frac79-2\cdot\frac{11}9=\frac{8+14-22}{9}=0$, donc $p_H(a)\in H$.
Formule générale : si $H=u^\perp$, alors $d(x,H)=\dfrac{|\langle u,x\rangle|}{\|u\|}$.
Un problème de minimisation intégrale
On cherche $m=\displaystyle\min_{(a,b)\in\mathbb{R}^2}\int_0^1\big(t^2-at-b\big)^2\,\mathrm{d}t$.
Dans $E=\mathbb{R}_2[X]$ muni de $\langle P,Q\rangle=\int_0^1PQ$ (produit scalaire, section 1), on a $m=d(X^2,F)^2$ avec $F=\mathbb{R}_1[X]=\operatorname{Vect}(1,X)$. Le minimum est atteint en $p_F(X^2)=aX+b$ (méthode B) : $$\begin{cases}\langle X^2-aX-b,1\rangle=0\\ \langle X^2-aX-b,X\rangle=0\end{cases}\iff\begin{cases}\frac13-\frac a2-b=0\\ \frac14-\frac a3-\frac b2=0\end{cases}$$ La première donne $b=\frac13-\frac a2$ ; en reportant : $\frac14-\frac a3-\frac16+\frac a4=\frac1{12}-\frac{a}{12}=0$, d'où $a=1$ et $b=-\frac16$.
Ainsi $p_F(X^2)=X-\frac16$ et $$m=\langle X^2-p_F(X^2),X^2\rangle=\int_0^1\left(t^4-t^3+\frac{t^2}6\right)\mathrm{d}t=\frac15-\frac14+\frac1{18}=\frac{36-45+10}{180}=\frac1{180}.$$ Vérification par Pythagore : $\|X^2\|^2=\frac15$, $\|X-\frac16\|^2=\frac13-\frac16+\frac1{36}=\frac7{36}$, et $\frac15-\frac7{36}=\frac{36-35}{180}=\frac1{180}$.
Le minimum vaut $\frac{1}{180}$, atteint uniquement pour $(a,b)=\left(1,-\frac16\right)$.
S’entraîner
- Projection sur une droite et sur un plan
- Base orthonormée de $\mathbb{R}_2[X]$ pour l'intégrale sur $[0,1]$
- Distance à l'hyperplan des matrices de trace nulle
- Meilleure approximation par une matrice symétrique
- Approcher $|t|$ par un polynôme de degré 2
Dans le cours
Espaces préhilbertiens réels : Calculer une projection orthogonale