Inégalité de Bessel : énoncé (MPSI)

Si $(e_1,\dots,e_p)$ est une famille orthonormée de $E$, pour tout $x\in E$ : $$\sum_{i=1}^p\langle e_i,x\rangle^2\leqslant\|x\|^2,$$ avec égalité si et seulement si $x\in\operatorname{Vect}(e_1,\dots,e_p)$. C'est la relation $\|p_F(x)\|^2=\|x\|^2-d(x,F)^2\leqslant\|x\|^2$ appliquée à $F=\operatorname{Vect}(e_1,\dots,e_p)$ ; l'égalité équivaut à $d(x,F)=0$, soit $x=p_F(x)\in F$.