Reconnaître un problème de distance : méthode (MPSI)
Reconnaître un problème de distance
Quand on doit minimiser une quantité de la forme $\sum(\dots)^2$, $\int(\dots)^2$ ou $\operatorname{tr}(M^\top M)$ où les paramètres interviennent linéairement :
- Identifier l'espace $E$ et le produit scalaire qui fait de la quantité un carré de norme $\|x-y\|^2$.
- Identifier le sous-espace $F$ de dimension finie décrit par $y$ quand les paramètres varient.
- Justifier que l'application choisie est un produit scalaire.
- Calculer $p_F(x)$ et conclure : le minimum vaut $d(x,F)^2$, atteint uniquement en $y=p_F(x)$.
Matrice d'une projection dans une BON
Dans $\mathbb{R}^n$ canonique, si $U$ est une colonne unitaire, la matrice de la projection orthogonale sur $\operatorname{Vect}(U)$ est $UU^\top$. Plus généralement, si les colonnes de $Q\in\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})$ forment une BON de $F$, la matrice de $p_F$ est $QQ^\top$. Par exemple, pour la droite dirigée par $\frac13(1,2,-2)$, la matrice est $\frac19\begin{pmatrix}1&2&-2\\2&4&-4\\-2&-4&4\end{pmatrix}$, et celle de la projection sur le plan $H$ ci-dessus est $I_3$ moins cette matrice.
S’entraîner
- Projection sur une droite et sur un plan
- Base orthonormée de $\mathbb{R}_2[X]$ pour l'intégrale sur $[0,1]$
- Distance à l'hyperplan des matrices de trace nulle
- Meilleure approximation par une matrice symétrique
- Approcher $|t|$ par un polynôme de degré 2
Dans le cours
Espaces préhilbertiens réels : Reconnaître un problème de distance