Utiliser Cauchy-Schwarz pour des intégralesExploiter le cas d'égalité d'une intégrale de fonction continue positive
Soit $f:[0,1]\to\mathbb{R}$ de classe $\mathcal{C}^1$ telle que $f(0)=0$.
- Montrer que pour tout $x\in[0,1]$ : $$f(x)^2\leqslant x\int_0^1f'(t)^2\,\mathrm{d}t.$$
- En déduire que $\displaystyle\int_0^1f(x)^2\,\mathrm{d}x\leqslant\frac12\int_0^1f'(t)^2\,\mathrm{d}t$. Vérifier sur $f(t)=t$.
- Montrer que l'égalité dans la question 2 n'a lieu que pour $f=0$.
Indice 1
Écrire $f(x)$ comme une intégrale de $f'$ sur $[0,x]$.
Indice 2
Appliquer Cauchy-Schwarz dans $\mathcal{C}([0,x],\mathbb{R})$ aux fonctions $1$ et $f'$.
Indice 3
Pour l'égalité, considérer la fonction continue positive $x\mapsto x\int_0^1f'^2-f(x)^2$.
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