Pour $a\in\mathbb{R}$, on note $e_a:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $x\mapsto e^{ax}$.
- Soit $n\geq 1$ et $a_1<a_2<\cdots<a_n$ des réels. Montrer que $(e_{a_1},\ldots,e_{a_n})$ est libre dans $\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})$.
- En déduire que la famille infinie $(e_a)_{a\in\mathbb{R}}$ est libre.
- La famille $(e_1,\ e_{-1},\ \mathrm{ch})$ est-elle libre ?
Raisonner par récurrence sur $n$.
Dans une relation $\sum\lambda_ke_{a_k}=0$, diviser par $e^{a_nx}$ et faire tendre $x$ vers $+\infty$.
Pour la question 3, revenir à la définition de $\mathrm{ch}$.
1. Notons $\mathcal{P}(n)$ : « pour tous réels $a_1<\cdots<a_n$, la famille $(e_{a_1},\ldots,e_{a_n})$ est libre ».
Initialisation. $e_{a_1}$ n'est pas la fonction nulle (elle vaut $1$ en $0$), donc $(e_{a_1})$ est libre.
Hérédité. Supposons $\mathcal{P}(n-1)$ vraie pour un $n\geq 2$. Soit $a_1<\cdots<a_n$ et $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ tels que $\sum_{k=1}^{n}\lambda_ke_{a_k}=0$. Pour tout réel $x$, en divisant par $e^{a_nx}>0$ :
$$\sum_{k=1}^{n-1}\lambda_ke^{(a_k-a_n)x}+\lambda_n=0.$$
Pour $k\leq n-1$, $a_k-a_n<0$, donc $e^{(a_k-a_n)x}\to 0$ quand $x\to+\infty$. Le passage à la limite donne $\lambda_n=0$. Il reste $\sum_{k=1}^{n-1}\lambda_ke_{a_k}=0$, et $\mathcal{P}(n-1)$ donne $\lambda_1=\cdots=\lambda_{n-1}=0$. Donc $\mathcal{P}(n)$ est vraie.
Par récurrence, $\mathcal{P}(n)$ est vraie pour tout $n\geq 1$.
2. Une famille quelconque est libre si toutes ses sous-familles finies le sont. Une sous-famille finie de $(e_a)_{a\in\mathbb{R}}$ s'écrit $(e_{a_1},\ldots,e_{a_n})$ avec des réels deux à deux distincts, qu'on peut ranger dans l'ordre croissant. Elle est libre d'après la question 1. Donc $(e_a)_{a\in\mathbb{R}}$ est libre.
3. Pour tout $x$, $\mathrm{ch}\,x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$, donc $e_1+e_{-1}-2\,\mathrm{ch}=0$. C'est une relation de liaison à coefficients non nuls : la famille est liée (le troisième vecteur n'est pas une exponentielle $e_a$).
Famille $(e_a)_{a\in\mathbb{R}}$ libre ; $(e_1,e_{-1},\mathrm{ch})$ liée : $e_1+e_{-1}-2\,\mathrm{ch}=0$.