Soit $m\in\mathbb{R}$. Dans $\mathbb{R}^3$, on pose $u_1=(1,2,1)$, $u_2=(2,1,-1)$ et $u_3=(1,-1,m)$.
Déterminer les valeurs de $m$ pour lesquelles la famille $(u_1,u_2,u_3)$ est liée et donner alors une relation de liaison explicite.
Écrire $au_1+bu_2+cu_3=0$ et traduire en un système de trois équations.
Exprimer $a$ puis $b$ en fonction de $c$ avec les deux premières équations, puis reporter dans la troisième.
Soit $a,b,c\in\mathbb{R}$ tels que $au_1+bu_2+cu_3=0$. Cela équivaut à
$$\begin{cases} a+2b+c=0\\ 2a+b-c=0\\ a-b+mc=0\end{cases}$$
La première équation donne $a=-2b-c$. En reportant dans la deuxième : $2(-2b-c)+b-c=-3b-3c=0$, donc $b=-c$, puis $a=2c-c=c$. La troisième équation devient $c-(-c)+mc=(m+2)c=0$.
- Si $m\neq -2$ : $c=0$, puis $a=b=0$. La famille est libre.
- Si $m=-2$ : la troisième équation est toujours vraie et $c=1$, $b=-1$, $a=1$ est une solution non nulle. On obtient $u_1-u_2+u_3=0$. Vérification : $(1-2+1,\ 2-1-1,\ 1+1-2)=(0,0,0)$.
Conclusion : la famille est liée si et seulement si $m=-2$, avec la relation $u_1-u_2+u_3=0$.
Liée si et seulement si $m=-2$ ; relation $u_1-u_2+u_3=0$.