Description de Vect : énoncé (MPSI)
Description de Vect
$\mathrm{Vect}(x_1,\ldots,x_p)$ est l'ensemble des combinaisons linéaires de $x_1,\ldots,x_p$ :
$$\mathrm{Vect}(x_1,\ldots,x_p)=\Big\{\sum_{i=1}^{p}\lambda_ix_i \ \Big|\ (\lambda_1,\ldots,\lambda_p)\in\mathbb{K}^p\Big\}.$$
Plus généralement, $\mathrm{Vect}(x_i)_{i\in I}$ est l'ensemble des combinaisons linéaires (à coefficients presque nuls) des $x_i$.
Démonstration : Description de Vect
Preuve
Notons $C$ l'ensemble des combinaisons linéaires de $x_1,\ldots,x_p$.
- $C$ est un sev : $0_E=\sum 0\cdot x_i\in C$, et $\lambda\sum\alpha_ix_i+\mu\sum\beta_ix_i=\sum(\lambda\alpha_i+\mu\beta_i)x_i\in C$.
- $C$ contient chaque $x_j$ (prendre $\lambda_j=1$ et les autres nuls). Donc $\mathrm{Vect}(x_1,\ldots,x_p)\subset C$, car $\mathrm{Vect}$ est le plus petit sev contenant les $x_j$.
- Tout sev contenant les $x_j$ est stable par combinaison linéaire, donc contient $C$. En particulier $C\subset \mathrm{Vect}(x_1,\ldots,x_p)$.
Par double inclusion, $C=\mathrm{Vect}(x_1,\ldots,x_p)$.
Des équations à Vect, et retour
Des équations vers Vect. Soit $F=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid x-2y+z=0\}$. On résout : $x=2y-z$, donc
$$(x,y,z)\in F\iff (x,y,z)=(2y-z,y,z)=y(2,1,0)+z(-1,0,1).$$
Ainsi $F=\mathrm{Vect}\big((2,1,0),(-1,0,1)\big)$, ce qui prouve au passage que $F$ est un sev.
De Vect vers les équations. Soit $G=\mathrm{Vect}\big((1,1,0),(0,1,1)\big)$. Un vecteur $(a,b,c)$ est dans $G$ si et seulement s'il existe $\alpha,\beta$ réels tels que $(a,b,c)=(\alpha,\alpha+\beta,\beta)$. Nécessairement $\alpha=a$, $\beta=c$, et la condition restante est $b=a+c$. Donc $G=\{(a,b,c)\in\mathbb{R}^3\mid a-b+c=0\}$.
S’entraîner
- Des équations à une base
- Un plan, une droite, projecteur et symétrie
- Supplémentaire dans un espace de polynômes
- Un endomorphisme de M_n(K) construit avec la trace
Dans le cours
Espaces vectoriels et applications linéaires : Description de Vect