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Prépa, 1re année › Espaces vectoriels et applications linéaires › Caractérisation des sous-espaces vectoriels

Caractérisation des sous-espaces vectoriels : énoncé (MPSI)

Propriété

Caractérisation des sous-espaces vectoriels

Une partie $F$ de $E$ est un sous-espace vectoriel de $E$ si et seulement si :

  1. $0_E\in F$ ;
  2. pour tous $x,y\in F$ et $\lambda,\mu\in\mathbb{K}$, $\lambda x+\mu y\in F$.

Un sous-espace vectoriel est donc stable par combinaison linéaire.

Démonstration : Caractérisation des sous-espaces vectoriels
Démonstration

Preuve de la caractérisation

Si $F$ est un sev, il contient son neutre, qui est $0_E$ (le neutre de $(F,+)$ vérifie $0_F+0_F=0_F$ dans $E$, donc $0_F=0_E$), et il est stable par les deux lois, donc par combinaison linéaire.

Réciproquement, supposons 1 et 2. Avec $\lambda=\mu=1$, $F$ est stable par $+$ ; avec $\mu=0$, $F$ est stable par la loi externe. Pour $x\in F$, $-x=(-1)x\in F$ et $0_E\in F$ : $(F,+)$ est un sous-groupe de $(E,+)$, donc un groupe abélien. Les quatre axiomes de la loi externe sont vrais dans $E$, donc a fortiori dans $F$. Ainsi $F$ est un espace vectoriel.

Exemple

Exemples et contre-exemples

  • $F=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x-2y+z=0\}$ est un sev de $\mathbb{R}^3$ : $(0,0,0)\in F$, et si $u=(x,y,z)$, $u'=(x',y',z')$ sont dans $F$, alors $\lambda u+\mu u'$ vérifie $(\lambda x+\mu x')-2(\lambda y+\mu y')+(\lambda z+\mu z')=\lambda\cdot 0+\mu\cdot 0=0$.
  • $G=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x+y=1\}$ n'est pas un sev : $(0,0)\notin G$.
  • $\mathbb{K}_n[X]$, polynômes de degré au plus $n$, est un sev de $\mathbb{K}[X]$ car $\deg(\lambda P+\mu Q)\leq \max(\deg P,\deg Q)$.
  • L'ensemble des suites réelles convergentes est un sev de $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ (opérations sur les limites).
  • L'ensemble des matrices non inversibles de $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ n'est pas un sev : $\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}$ sont non inversibles, leur somme $I_2$ est inversible.

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Dans le cours

Espaces vectoriels et applications linéaires : Caractérisation des sous-espaces vectoriels