Sujet type CCINP. Soit $n\geq 1$. On définit $f$ sur $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ par $f(M)=M+\mathrm{tr}(M)\,I_n$. On note $H=\{M\in\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\mid\mathrm{tr}(M)=0\}$.
- Montrer que $f$ est un endomorphisme de $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$.
- Montrer que $f\circ f=(n+2)f-(n+1)\,\mathrm{id}$.
- En déduire que $f$ est un automorphisme et donner $f^{-1}(M)$ pour toute matrice $M$.
- Montrer que $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})=H\oplus\mathrm{Vect}(I_n)$.
- Soit $p$ le projecteur sur $\mathrm{Vect}(I_n)$ parallèlement à $H$. Donner $p(M)$ et montrer que $f=\mathrm{id}+n\,p$.
- Déterminer $\ker(f-\mathrm{id})$ et $\ker\big(f-(n+1)\,\mathrm{id}\big)$.
La trace est une forme linéaire et $\mathrm{tr}(I_n)=n$.
Pour la question 3, poser $g=\frac{1}{n+1}\big((n+2)\,\mathrm{id}-f\big)$.
Pour la question 4, écrire $M=\big(M-\alpha I_n\big)+\alpha I_n$ et choisir $\alpha$.
1. $f(M)\in\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$. Par linéarité de la trace, $f(\lambda M+\mu N)=\lambda M+\mu N+(\lambda\,\mathrm{tr}M+\mu\,\mathrm{tr}N)I_n=\lambda f(M)+\mu f(N)$. $f$ est un endomorphisme.
2. Notons $t=\mathrm{tr}(M)$. Alors $\mathrm{tr}(f(M))=t+t\,\mathrm{tr}(I_n)=(n+1)t$, donc
$$f(f(M))=f(M)+(n+1)t\,I_n=M+(n+2)t\,I_n.$$
Par ailleurs $(n+2)f(M)-(n+1)M=(n+2)M+(n+2)tI_n-(n+1)M=M+(n+2)tI_n$. D'où l'égalité.
3. Posons $g=\frac{1}{n+1}\big((n+2)\,\mathrm{id}-f\big)$, licite car $n+1\neq 0$. Alors $f\circ g=g\circ f=\frac{1}{n+1}\big((n+2)f-f\circ f\big)=\frac{1}{n+1}(n+1)\,\mathrm{id}=\mathrm{id}$. Donc $f$ est bijective, c'est un automorphisme, et $f^{-1}=g$ :
$$f^{-1}(M)=\frac{(n+2)M-M-\mathrm{tr}(M)I_n}{n+1}=M-\frac{\mathrm{tr}(M)}{n+1}I_n.$$
4. $H=\ker\mathrm{tr}$ est un sev. Intersection : si $\alpha I_n\in H$, alors $n\alpha=0$, donc $\alpha=0$. Somme : pour $M$ quelconque, posons $\alpha=\frac{\mathrm{tr}(M)}{n}$. Alors $M=\big(M-\alpha I_n\big)+\alpha I_n$ avec $\mathrm{tr}(M-\alpha I_n)=\mathrm{tr}(M)-n\alpha=0$. Donc $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})=H\oplus\mathrm{Vect}(I_n)$.
5. D'après la décomposition précédente, $p(M)=\frac{\mathrm{tr}(M)}{n}I_n$. Donc $(\mathrm{id}+np)(M)=M+\mathrm{tr}(M)I_n=f(M)$.
6. $f(M)=M\iff\mathrm{tr}(M)I_n=0\iff M\in H$ : $\ker(f-\mathrm{id})=H$. Ensuite $f(M)=(n+1)M\iff\mathrm{tr}(M)I_n=nM$. Une telle $M$ vaut $\frac{\mathrm{tr}(M)}{n}I_n\in\mathrm{Vect}(I_n)$ ; réciproquement $f(I_n)=I_n+nI_n=(n+1)I_n$. Donc $\ker\big(f-(n+1)\,\mathrm{id}\big)=\mathrm{Vect}(I_n)$.
$f^{-1}(M)=M-\frac{\mathrm{tr}(M)}{n+1}I_n$ ; $p(M)=\frac{\mathrm{tr}(M)}{n}I_n$ ; $\ker(f-\mathrm{id})=H$, $\ker(f-(n+1)\mathrm{id})=\mathrm{Vect}(I_n)$.