Intersection de sous-espaces : énoncé (MPSI)
Intersection de sous-espaces
Toute intersection (finie ou non) de sous-espaces vectoriels de $E$ est un sous-espace vectoriel de $E$.
Démonstration : Intersection de sous-espaces
Preuve
Soit $(F_i)_{i\in I}$ une famille de sev de $E$ et $F=\bigcap_{i\in I}F_i$. Pour tout $i$, $0_E\in F_i$, donc $0_E\in F$. Si $x,y\in F$ et $\lambda,\mu\in\mathbb{K}$, alors pour tout $i$, $x,y\in F_i$ donc $\lambda x+\mu y\in F_i$ ; ainsi $\lambda x+\mu y\in F$.
La réunion de deux sous-espaces
La réunion de deux sev n'est en général pas un sev. Plus précisément, $F\cup G$ est un sev si et seulement si $F\subset G$ ou $G\subset F$.
Preuve du sens non trivial : supposons $F\not\subset G$ et $G\not\subset F$. Soit $x\in F\setminus G$ et $y\in G\setminus F$. Si $x+y\in F$, alors $y=(x+y)-x\in F$, absurde. Si $x+y\in G$, alors $x=(x+y)-y\in G$, absurde. Donc $x+y\notin F\cup G$ et $F\cup G$ n'est pas stable par $+$.
Exemple : dans $\mathbb{R}^2$, les deux axes sont des sev, mais $(1,0)+(0,1)=(1,1)$ n'est sur aucun des deux.
S’entraîner
- Sous-espace ou non
- Des équations à une base
- Supplémentaire dans un espace de polynômes
- Suites récurrentes linéaires d'ordre deux
Dans le cours
Espaces vectoriels et applications linéaires : Intersection de sous-espaces