Soit $g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ définie par $g(x) = \arctan(\operatorname{sh} x)$.
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Montrer que $g$ est impaire, dérivable, et calculer $g'$. En déduire que $g$ réalise une bijection de $\mathbb{R}$ sur un intervalle $J$ à préciser.
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Montrer que pour tout réel $x$, $g(x) = 2\arctan(e^x) - \frac{\pi}{2}$.
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Montrer que pour tout réel $x$ : $\cos\big(g(x)\big) = \frac{1}{\operatorname{ch} x}$ et $\sin\big(g(x)\big) = \operatorname{th} x$.
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Soit $y \in J$. Résoudre l'équation $g(x) = y$ et montrer que $g^{-1}(y) = \ln\left(\dfrac{1 + \sin y}{\cos y}\right)$. Vérifier par un calcul direct que $(g^{-1})'(y) = \dfrac{1}{g'\big(g^{-1}(y)\big)}$.
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Calculer $g\big(\ln(2 + \sqrt{3})\big)$ et en déduire $\arctan(2 + \sqrt{3})$.
$1 + \operatorname{sh}^2 = \operatorname{ch}^2$.
Pour 2, dériver $x \mapsto 2\arctan(e^x)$ et simplifier en divisant par $e^x$.
Pour 4, $\arctan(\operatorname{sh} x) = y$ équivaut à $\operatorname{sh} x = \tan y$ car $y \in \left]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right[$ ; utiliser ensuite la résolution de $\operatorname{sh} x = t$ vue en cours.
Pour 5, calculer $\operatorname{sh}\big(\ln(2 + \sqrt{3})\big)$ en utilisant $\frac{1}{2 + \sqrt{3}} = 2 - \sqrt{3}$.
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$\operatorname{sh}$ et $\arctan$ sont impaires, donc $g(-x) = \arctan(-\operatorname{sh} x) = -g(x)$. Composée de fonctions dérivables sur $\mathbb{R}$, $g$ est dérivable et $$g'(x) = \frac{\operatorname{ch} x}{1 + \operatorname{sh}^2 x} = \frac{\operatorname{ch} x}{\operatorname{ch}^2 x} = \frac{1}{\operatorname{ch} x} > 0.$$ Donc $g$ est continue et strictement croissante sur l'intervalle $\mathbb{R}$. Quand $x \to +\infty$, $\operatorname{sh} x \to +\infty$ donc $g(x) \to \frac{\pi}{2}$ ; par imparité $g(x) \to -\frac{\pi}{2}$ en $-\infty$. Par le théorème de la bijection, $g$ est une bijection de $\mathbb{R}$ sur $J = \left]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right[$.
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Soit $\varphi(x) = 2\arctan(e^x) - \frac{\pi}{2}$, dérivable sur $\mathbb{R}$ : $$\varphi'(x) = \frac{2e^x}{1 + e^{2x}} = \frac{2}{e^{-x} + e^x} = \frac{1}{\operatorname{ch} x} = g'(x).$$ Donc $g - \varphi$ a une dérivée nulle sur l'intervalle $\mathbb{R}$ ; elle est constante, égale à $g(0) - \varphi(0) = 0 - \left(2\cdot\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{2}\right) = 0$. Ainsi $g = \varphi$.
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D'après le cours, pour tout réel $t$, $\cos(\arctan t) = \frac{1}{\sqrt{1 + t^2}}$ et $\sin(\arctan t) = \frac{t}{\sqrt{1 + t^2}}$. Avec $t = \operatorname{sh} x$ : $\sqrt{1 + \operatorname{sh}^2 x} = \sqrt{\operatorname{ch}^2 x} = \operatorname{ch} x$ car $\operatorname{ch} x > 0$. Donc $\cos g(x) = \frac{1}{\operatorname{ch} x}$ et $\sin g(x) = \frac{\operatorname{sh} x}{\operatorname{ch} x} = \operatorname{th} x$.
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Soit $y \in \left]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right[$. Par définition de $\arctan$, $\arctan(\operatorname{sh} x) = y \iff \operatorname{sh} x = \tan y$. D'après le cours, $\operatorname{sh} x = t \iff x = \ln\left(t + \sqrt{t^2 + 1}\right)$. Avec $t = \tan y$ : $\sqrt{1 + \tan^2 y} = \frac{1}{|\cos y|} = \frac{1}{\cos y}$ car $\cos y > 0$. Donc $$g^{-1}(y) = \ln\left(\tan y + \frac{1}{\cos y}\right) = \ln\left(\frac{1 + \sin y}{\cos y}\right).$$ Calcul direct, avec $1 + \sin y > 0$ et $\cos y > 0$ : $g^{-1}(y) = \ln(1 + \sin y) - \ln(\cos y)$, donc $$(g^{-1})'(y) = \frac{\cos y}{1 + \sin y} + \frac{\sin y}{\cos y} = \frac{\cos^2 y + \sin y + \sin^2 y}{(1 + \sin y)\cos y} = \frac{1 + \sin y}{(1 + \sin y)\cos y} = \frac{1}{\cos y}.$$ Par ailleurs, en notant $x = g^{-1}(y)$, la question 3 donne $\frac{1}{g'(x)} = \operatorname{ch} x = \frac{1}{\cos g(x)} = \frac{1}{\cos y}$. Les deux calculs coïncident.
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Soit $a = \ln(2 + \sqrt{3})$. Comme $(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3}) = 1$, $e^{-a} = 2 - \sqrt{3}$ et $\operatorname{sh} a = \frac{(2 + \sqrt{3}) - (2 - \sqrt{3})}{2} = \sqrt{3}$. Donc $g(a) = \arctan\sqrt{3} = \frac{\pi}{3}$. Par la question 2 : $2\arctan(2 + \sqrt{3}) - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{3}$, d'où $\arctan(2 + \sqrt{3}) = \frac{5\pi}{12}$.
$g' = \frac{1}{\operatorname{ch}}$, $J = \left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[$ ; $g^{-1}(y) = \ln\frac{1+\sin y}{\cos y}$ ; $g(\ln(2+\sqrt{3})) = \frac{\pi}{3}$ ; $\arctan(2+\sqrt{3}) = \frac{5\pi}{12}$