Deux identités classiques : énoncé (MPSI)
Deux identités classiques
(1) Pour tout $x \in [-1, 1]$ : $\arccos x + \arcsin x = \dfrac{\pi}{2}$.
(2) Pour tout réel $x \neq 0$ : $$\arctan x + \arctan\frac{1}{x} = \begin{cases} \dfrac{\pi}{2} & \text{si } x > 0, \\ -\dfrac{\pi}{2} & \text{si } x < 0. \end{cases}$$
Démonstration : Deux identités classiques
Preuve des deux identités
(1) Soit $x \in [-1, 1]$ et $\theta = \frac{\pi}{2} - \arcsin x$. Comme $\arcsin x \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$, on a $\theta \in [0, \pi]$. De plus $\cos\theta = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \arcsin x\right) = \sin(\arcsin x) = x$. Par définition de $\arccos$, $\theta = \arccos x$, ce qui est l'égalité voulue.
(2) Soit $f(x) = \arctan x + \arctan\frac{1}{x}$ sur $\mathbb{R}^*$. La fonction $f$ est dérivable et $$f'(x) = \frac{1}{1 + x^2} + \left(-\frac{1}{x^2}\right)\frac{1}{1 + \frac{1}{x^2}} = \frac{1}{1 + x^2} - \frac{1}{x^2 + 1} = 0.$$ Sur l'intervalle $]0, +\infty[$, $f$ est donc constante, égale à $f(1) = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$. Sur $]-\infty, 0[$, $f$ est impaire, donc $f(x) = -f(-x) = -\frac{\pi}{2}$.
Cet exemple montre qu'une fonction de dérivée nulle sur $\mathbb{R}^*$ n'est pas forcément constante : $\mathbb{R}^*$ n'est pas un intervalle.
$\arcsin(\sin x)$ ne vaut pas toujours $x$
On a toujours $\sin(\arcsin y) = y$ pour $y \in [-1, 1]$. En revanche, $\arcsin(\sin x) = x$ seulement si $x \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$, car $\arcsin$ prend ses valeurs dans cet intervalle. Par exemple, $\sin\frac{5\pi}{6} = \frac{1}{2}$, donc $\arcsin\left(\sin\frac{5\pi}{6}\right) = \frac{\pi}{6}$.
De même, $\arccos(\cos x) = x$ seulement si $x \in [0, \pi]$, et $\arctan(\tan x) = x$ seulement si $x \in \left]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right[$.
S’entraîner
- Réciproque de la tangente hyperbolique
- Exprimer arcsin à l'aide de arctan
- Une identité valable par morceaux