Exercice corrigé : Somme des inverses de sinus carrés

Dans l'esprit Mines-Ponts. Soit $n\geqslant2$ et $\omega_k=e^{2ik\pi/n}$ pour $1\leqslant k\leqslant n-1$. On pose $P_n=\displaystyle\sum_{j=0}^{n-1}X^j$.

1. Montrer que $P_n=\displaystyle\prod_{k=1}^{n-1}(X-\omega_k)$. En déduire $\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{1-\omega_k}$ puis $\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{(1-\omega_k)^2}$.
2. Montrer que pour $\theta\in\,]0,2\pi[$ : $\dfrac{1}{1-e^{i\theta}}=\dfrac12+\dfrac i2\cot\dfrac\theta2$.
3. En déduire $\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}\cot^2\frac{k\pi}{n}$, puis $\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{\sin^2(k\pi/n)}$.
4. On prend $n=2m+1$ avec $m\geqslant1$. Montrer que $\displaystyle\sum_{k=1}^{m}\cot^2\frac{k\pi}{2m+1}=\frac{m(2m-1)}{3}$ et $\displaystyle\sum_{k=1}^{m}\frac{1}{\sin^2\frac{k\pi}{2m+1}}=\frac{2m(m+1)}{3}$. En admettant que $\sin x<x<\tan x$ pour $x\in\,]0,\pi/2[$, en déduire la limite de $\displaystyle\sum_{k=1}^{m}\frac{1}{k^2}$ quand $m\to+\infty$.