- Déterminer l'ensemble des ordres possibles des éléments de $\mathfrak{S}_7$.
- En déduire l'ordre maximal d'un élément de $\mathfrak{S}_7$, donner un élément réalisant ce maximum et calculer sa signature.
- Combien $\mathfrak{S}_7$ contient-il d'éléments de cet ordre maximal ?
- Existe-t-il dans $\mathfrak{S}_7$ un élément d'ordre 8 ? d'ordre 14 ?
Une permutation est déterminée, à renommage près, par les longueurs de ses cycles disjoints, dont la somme (points fixes comptés comme longueur 1) vaut 7.
Lister les décompositions de 7 en somme d'entiers et calculer le ppcm pour chacune.
Pour compter, choisir le support de chaque cycle, puis le nombre de cycles sur ce support.
- Soit $\sigma\in\mathfrak{S}_7$ de cycles disjoints de longueurs $k_1,\dots,k_r\geqslant2$. On a $k_1+\dots+k_r\leqslant7$ et l'ordre est $\mathrm{ppcm}(k_1,\dots,k_r)$. On liste les possibilités (les points fixes n'interviennent pas dans le ppcm) :
| longueurs des cycles | ordre |
|---|---|
| aucune (identité) | 1 |
| 2 ; 2,2 ; 2,2,2 | 2 |
| 3 ; 3,3 | 3 |
| 4 ; 4,2 | 4 |
| 5 | 5 |
| 6 ; 3,2 ; 3,2,2 | 6 |
| 7 | 7 |
| 5,2 | 10 |
| 4,3 | 12 |
Toutes les listes de longueurs $\geqslant2$ de somme $\leqslant7$ figurent dans ce tableau. Les ordres possibles sont donc $1,2,3,4,5,6,7,10,12$.
-
L'ordre maximal est 12, atteint par exemple par $\sigma=(1\ 2\ 3)(4\ 5\ 6\ 7)$. Sa signature est $(-1)^{2}(-1)^{3}=-1$.
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Les éléments d'ordre 12 sont exactement ceux de type « un 3-cycle et un 4-cycle disjoints ». On choisit le support du 3-cycle : $\binom{7}{3}=35$ choix ; sur ce support il y a $2$ cycles de longueur 3. Les 4 éléments restants portent un 4-cycle : il y en a $\frac{4!}{4}=3!=6$. D'après l'unicité de la décomposition, chaque élément est obtenu une seule fois. Il y a donc $35\times2\times6=420$ éléments d'ordre 12.
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Non dans les deux cas : 8 et 14 n'apparaissent pas dans la liste. Directement : un ppcm égal à 8 exige une longueur divisible par 8, impossible car les longueurs sont au plus 7 ; un ppcm égal à 14 exige une longueur divisible par 7 et une longueur paire, donc un 7-cycle et un autre cycle, soit au moins $7+2=9>7$ éléments.
Ordres possibles : $\{1,2,3,4,5,6,7,10,12\}$ ; ordre maximal 12 ; 420 éléments d'ordre 12 ; pas d'élément d'ordre 8 ni 14