Conséquences pratiques : énoncé (MPSI)

Propriété

Conséquences pratiques

Si $\sigma=t_1\cdots t_r$ (transpositions), alors $\varepsilon(\sigma)=(-1)^r$. La parité de $r$ ne dépend pas de l'écriture choisie.
Un cycle de longueur $k$ a pour signature $(-1)^{k-1}$.
Si $\sigma$ a $p$ orbites (points fixes compris), alors $\varepsilon(\sigma)=(-1)^{n-p}$.
$\varepsilon(\gamma\sigma\gamma^{-1})=\varepsilon(\sigma)$ pour tous $\sigma,\gamma$.

Démonstration : Conséquences pratiques

Démonstration

Preuve

Le morphisme donne $\varepsilon(\sigma)=(-1)^r$ ; deux écritures avec $r$ et $r'$ facteurs donnent $(-1)^r=(-1)^{r'}$, donc $r\equiv r' \pmod 2$.
Un $k$-cycle est produit de $k-1$ transpositions.
Si $\sigma=c_1\cdots c_r$ avec $c_i$ de longueur $k_i$ (orbites non triviales), alors $\varepsilon(\sigma)=\prod(-1)^{k_i-1}=(-1)^{\sum(k_i-1)}$. Une orbite réduite à un point apporte $|\mathcal{O}|-1=0$, donc $\sum_i(k_i-1)=\sum_{\mathcal{O}}(|\mathcal{O}|-1)=n-p$, la somme portant sur toutes les orbites, de cardinaux de somme $n$.
Le groupe d'arrivée est commutatif.

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