Prépa, 1re année › Groupe symétrique › Caractérisation de la signature
Caractérisation de la signature : énoncé (MPSI)
Théorème
Caractérisation de la signature
Pour $n\geqslant2$, la signature est l'unique morphisme de groupes de $\mathfrak{S}_n$ dans $(\{-1,1\},\times)$ qui envoie toute transposition sur $-1$.
Démonstration : Caractérisation de la signature
Démonstration
Preuve
Existence : $\varepsilon$ convient d'après les deux résultats précédents.
Unicité : soit $\varphi$ un tel morphisme et $\sigma\in\mathfrak{S}_n$. On écrit $\sigma=t_1\cdots t_r$ avec des transpositions. Alors $\varphi(\sigma)=\varphi(t_1)\cdots\varphi(t_r)=(-1)^r$, et de même $\varepsilon(\sigma)=(-1)^r$. Donc $\varphi=\varepsilon$.
S’entraîner
- Décomposition, ordre et puissance d'une permutation de $\mathfrak{S}_9$
- Produits de cycles non disjoints
- Signature par les inversions
- Ordre maximal d'un élément de $\mathfrak{S}_7$
- Signature du battage parfait