Signature d'une transposition : énoncé (MPSI)

Pour $(1\ 2)$, la deuxième ligne est $2,1,3,\dots,n$ : la seule inversion est $(1,2)$, donc $\varepsilon((1\ 2))=-1$.

Soit $(a\ b)$ une transposition quelconque. Il existe $\gamma \in \mathfrak{S}_n$ avec $\gamma(1)=a$ et $\gamma(2)=b$ (on complète en une bijection quelconque). Par la formule du conjugué, $(a\ b)=\gamma(1\ 2)\gamma^{-1}$. Comme $\{-1,1\}$ est commutatif : $$\varepsilon((a\ b))=\varepsilon(\gamma)\,\varepsilon((1\ 2))\,\varepsilon(\gamma)^{-1}=-1.$$

Autre preuve directe : pour $i<j$, les inversions de $(i\ j)$ sont $(i,j)$ et les couples $(i,k)$, $(k,j)$ avec $i<k<j$, soit $2(j-i-1)+1$, nombre impair.