Formule produit : énoncé (MPSI)
Formule produit
Pour tout $\sigma \in \mathfrak{S}_n$, $$\varepsilon(\sigma)=\prod_{1\leqslant i<j\leqslant n}\frac{\sigma(j)-\sigma(i)}{j-i}.$$ Le quotient $\dfrac{\sigma(j)-\sigma(i)}{j-i}$ est symétrique en $(i,j)$ : le produit porte en fait sur les paires $\{i,j\}$ de $[\![1,n]\!]$.
Démonstration : Formule produit
Preuve
Notons $\mathcal{P}$ l'ensemble des paires $\{i,j\}$ avec $i\neq j$. L'application $\{i,j\}\mapsto\{\sigma(i),\sigma(j)\}$ est une bijection de $\mathcal{P}$ (de réciproque associée à $\sigma^{-1}$). Donc $$\prod_{\{i,j\}\in\mathcal{P}}|\sigma(j)-\sigma(i)|=\prod_{\{k,l\}\in\mathcal{P}}|l-k|,$$ et le produit de l'énoncé est de valeur absolue 1.
Pour $i<j$, le facteur est négatif si et seulement si $\sigma(j)<\sigma(i)$, c'est-à-dire si $(i,j)$ est une inversion. Le produit vaut donc $(-1)^{I(\sigma)}=\varepsilon(\sigma)$.
S’entraîner
- Composer et inverser dans $\mathfrak{S}_5$
- Décomposition, ordre et puissance d'une permutation de $\mathfrak{S}_9$
- Produits de cycles non disjoints
- Conjugaison de permutations
- Signature du battage parfait