La signature est un morphisme : énoncé (MPSI)

Pour $\{i,j\}\in\mathcal{P}$, posons $q_\sigma(i,j)=\dfrac{\sigma(j)-\sigma(i)}{j-i}$, symétrique en $i,j$. Comme $\tau(i)\neq\tau(j)$, on peut écrire $$q_{\sigma\tau}(i,j)=\frac{\sigma(\tau(j))-\sigma(\tau(i))}{\tau(j)-\tau(i)}\cdot\frac{\tau(j)-\tau(i)}{j-i}=q_\sigma(\tau(i),\tau(j))\;q_\tau(i,j).$$ En faisant le produit sur $\mathcal{P}$ : $$\varepsilon(\sigma\tau)=\prod_{\{i,j\}\in\mathcal{P}}q_\sigma(\tau(i),\tau(j))\;\cdot\;\varepsilon(\tau).$$ L'application $\{i,j\}\mapsto\{\tau(i),\tau(j)\}$ étant une bijection de $\mathcal{P}$, le premier produit est $\prod_{\{k,l\}\in\mathcal{P}}q_\sigma(k,l)=\varepsilon(\sigma)$.

Enfin $\varepsilon(\mathrm{id})=1$ car $\mathrm{id}$ n'a aucune inversion, et $\varepsilon(\sigma)\varepsilon(\sigma^{-1})=\varepsilon(\mathrm{id})=1$ avec $\varepsilon(\sigma)=\pm1$ donne $\varepsilon(\sigma^{-1})=\varepsilon(\sigma)$.